Высшая математика теория и решение задач математический анализ

 

Уравнение колебаний струны.

Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:

где r - плотность струны.

  Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:

 

 Или  

 

  Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0.

  Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

  Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях

и краевых условиях

.

 

  Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.

  Функции f(x) и F(x) заданы.

  Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l