Высшая математика теория и решение задач математический анализ

 

Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.

 

  Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.

  Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция , которая обращает уравнение в тождество.

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от функции  можно в общем виде записать как

 Линейное уравнение в частных производных имеет вид:

  , (1)

где Xi – некоторые заданные функции.

 

  Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.

 

Рассмотрим систему уравнений:

   (2)

или - такая система называется нормальной.

Общее решение этой системы имеет вид:

 

Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:

Каждая из функций j является интегралом системы (2).

 

  Теорема. Если   - интеграл системы (2), то функция  - решение уравнения (1).