Элементы теории устойчивости.

  Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.

  Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.

  Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений: Производные

   (1)

и начальные условия:

  Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.

 

  Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий) лекции, задачи Криволинейные ортогональные системы координат Основы математического анализа

Если правая часть дифференциального уравнения непрерывна и по переменной у имеет ограниченную частную производную  на области прямоугольника, ограниченного , то решение

, удовлетворяющее начальным условиям , непрерывно зависит от начальных данных, т.е. для любого , при котором если

 то  при условии, что

 где

 Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.

 

  Определение. Если   - решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого , такое, что для любого решения  той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам

справедливы неравенства