Высшая математика теория и решение задач Дифференцирование

Элементы теории устойчивости.

(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)

 

  Т.е. можно сказать, что решение j(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ³ t0.

  Если , то решение j(t) называется асимптотически устойчивым. лекции, задачи Основы теории поля Основы математического анализа

  Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения  системы можно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

  Тогда:

   (2)

 

  Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение

 

  Теорема. Решение   системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2). Векторная алгебра

  Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя.

  Определение. Точка покоя системы (2) устойчива по Ляпунову, если для любого  такое, что из неравенства

следует

.

 

  Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система

имеющая тривиальное решение .

  Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям:

  1) ³0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат.

  2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:

 при 

Тогда точка покоя  устойчива по Ляпунову.

  Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат  выполнялось условие

где b - постоянная величина, то точка покоя  асимптотически устойчива.

  Функция v называется функцией Ляпунова.