Высшая математика теория и решение задач Дифференцирование

Уравнения с правой частью специального вида.

 

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

  Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m.

  Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 

Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.  

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

  Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

  Итого, частное решение:

 

 

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: