Высшая математика теория и решение задач Дифференцирование

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида

С учетом обозначения  можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).

 

  Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 

  Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.

Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

 

 Пусть   - фундаментальная система решений линейного однородн ого уравнения . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

 

 Далее покажем, что сумма является общим решением неоднородного уравнения.

 

  Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.