Структура общего решения.
Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка
,
то этот определитель называется определителем Вронского. лекции, задачи Кривые и поверхности второго порядка Основы математического анализа
( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)
Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель
Вронского равен нулю.
Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель
Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.
Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного
дифференциального уравнения
была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель
Вронского был не равен нулю.
Теорема.
Если -
фундаментальная система решений на интервале (a, b),
то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной
комбинацией этих решений.
,
где Ci –постоянные коэффициенты.
Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
|