Высшая математика теория и решение задач Дифференцирование

Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Структура общего решения.

  Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

  Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского. лекции, задачи Кривые и поверхности второго порядка Основы математического анализа

( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

 

  Теорема. Если функции  линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

  Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

  Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения   была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

  Теорема. Если  - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

,

где Ciпостоянные коэффициенты.

 

  Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.