Ряды. Основные определения. Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательностиназывается числовым рядом.
Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда
с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
то ряд
Пример. Определить сходимость ряда
. Линейные уравнения и уравнения Бернулли
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды лекции, задачи
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
где
Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования
Пример. Разложить в степенной ряд функцию
.
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример. Найти решение уравнения
c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье по ортогональной системе функций Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если
Элементы теории функций комплексного переменного Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество Dна множество G.
Основные трансцендентные функции
Производная функций комплексного переменного Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:
Пример. Вычислить определенный интеграл
Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.
Теоремы свертки и запаздывания
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить систему уравнений:
Пример. Решить систему уравнений
при x(0) = y(0) = 1
|
|