Ряды функциональные и степенные Ряды Тейлора и Лорана

Ряды. Основные определения. Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности  называется числовым рядом.

Свойства рядов

Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Ряды с неотрицательными членами

Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

Пример. Определить сходимость ряда . Линейные уравнения и уравнения Бернулли

Интегральный признак Коши

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды лекции, задачи

 Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Функциональные ряды

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .

Теоремы Абеля

Действия со степенными рядами

Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования

 Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

 Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Ряды Фурье

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье

Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Ряды Фурье для функций любого периода

Ряд Фурье по ортогональной системе функций Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если

Интеграл Фурье

Преобразование Фурье

Элементы теории функций комплексного переменного Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество Dна множество G.

Основные трансцендентные функции

Производная функций комплексного переменного Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:

Условия Коши – Римана

Интегрирование функций комплексной переменной

Интегральная формула Коши

Ряды Тейлора и Лорана

Полюс функции

Теорема о вычетах

Пример. Вычислить определенный интеграл

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.

Свойства изображений

Таблица изображений некоторых функций

Теоремы свертки и запаздывания

 Пример. Решить уравнение

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить систему уравнений:

Пример. Решить систему уравнений  при x(0) = y(0) = 1