Ряды. Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности
называется числовым рядом.
Свойства рядов
Критерий Коши необходимые
и достаточные условия сходимости ряда Кратные интегралы Как известно,
интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование
может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных
интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных
интегралов.
Ряды с неотрицательными членами
Признак Коши. (радикальный признак)
Если для ряда
с
неотрицательными членами существует такое число q<1,
что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
то ряд
сходится,
если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
Пример. Определить
сходимость ряда
. Линейные уравнения и уравнения
Бернулли
Интегральный признак Коши
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся
ряды лекции, задачи
Знакочередующийся ряд можно
записать в виде:
где 
Признаки Даламбера и Коши для
знакопеременных рядов
Функциональные последовательности
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х,
то ряд называется функциональным.
Функциональные ряды
Признак равномерной сходимости
Вейерштрасса
Степенные ряды Определение.
Степенным рядом называется ряд вида
.
Теоремы Абеля
Действия со степенными рядами
Разложение функций в степенные
ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение
для решения различных задач исследования функций, дифференцирования,
интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов,
вычисления приближенных значений функции.
Способ разложения функции в
ряд при помощи интегрирования
Пример.
Разложить в степенной ряд функцию
.
Решение дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать
дифференциальные уравнения.
Пример. Найти решение
уравнения
c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Ряды Фурье
Достаточные признаки разложимости
в ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье непериодической
функции
Ряд Фурье для четных и нечетных
функций
Ряд Фурье для четных и нечетных
функций
Ряды Фурье для функций любого
периода
Ряд Фурье по ортогональной системе
функций Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на
отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если 
Интеграл Фурье
Преобразование Фурье
Элементы теории функций комплексного
переменного Определение. Если каждому комплексному числу
z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в
соответствие определенное комплексное число w из множества G,
то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного,
отображающая множество Dна множество G.
Основные трансцендентные функции
Производная функций комплексного
переменного Определение. Производной от однозначной функции
w = f(z) в точке z
называется предел: 
Условия Коши – Римана
Интегрирование функций комплексной
переменной
Интегральная формула Коши
Ряды Тейлора и Лорана
Полюс функции
Теорема о вычетах
Пример. Вычислить
определенный интеграл 
Операционное исчисление. Преобразование
Лапласа.
Свойства изображений
Таблица изображений некоторых
функций
Теоремы свертки и запаздывания
Пример. Решить
уравнение 
Пример. Решить
уравнение 
Пример. Решить систему
уравнений:

Пример. Решить
систему уравнений
при x(0) = y(0) = 1