Лабораторные работы по физике Лекции и конспекты по физике Лекции по термодинамике Электростатика Механика, термодинамика Кинематика, гидродинамика

Лекции и конспекты по физике

Электромагнитные волны.

Волновое уравнение для электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла для векторов  и  можно переписать в виде системы для проекций этих векторов на оси декартовой системы координат

;

  (3.3.1)

;

=0.

  В нейтральной однородной непроводящей среде, где плотность зарядов и плотность тока проводимости равны нулю, уравнения Максвелла запишутся

   (3.3.2)

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Это подтверждается тем, что, проведя ряд преобразований с уравнениями (3.3.2), можно получить уравнения  , (3.3.3)

.

Как видно, это волновые уравнения. Они неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из (3.3.2), которые связывают вектора  и . Они описывают волну векторов  и , распространяющуюся с фазовой скоростью

.  (3.3.4)

В вакууме  и скорость электромагнитной волны (скорость света в вакууме)   . (3.3.5)

Это одна из фундаментальных физических констант. Тогда скорость волны в среде , (3.3.6)

где n – показатель преломления среды, который определяет во сколько раз скорость электромагнитной волны в среде меньше, чем в вакууме.

Свойства электромагнитных волн.

Установим основные свойства электромагнитной волны на примере плоской волны, распространяющейся в свободном пространстве (отсутствуют заряды и токи). 

1. Направим ось х перпендикулярно волновым поверхностям. При этом   и , а значит и их проек­ции на оси y и  z, не будут зависеть от координат y и z, т. е. со­ответствующие производные по y и z будут равны нулю. Поэто­му уравнения (3.3.1) упрощаются (останутся только про­изводные по x) и принимают вид:

   (3.3.7)

Из условий  и  следует, что Ex не зависит ни от x, ни от t, аналогично - для Hx. Это значит, что отличные от нуля Ex и Hx могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. А для переменного поля плоской волны Ex = 0 и Hx = 0, т.е. векторы  и  перпендикулярны направлению распространения волны – оси  x. Значит, электромагнитная волна является поперечной.

2. Кроме того, оказывается, векторы  и  в электромагнитной волне взаимно ортогональны. Чтобы убедиться в этом, объединим средние уравнения (3.3.7), содержащие, например, Ey и Hz, в пару:

  (3.3.8)

(можно было бы взять и другую пару, содержащую производные Ez и Hy). Из этих уравнений видно, что изменение во времени, скажем, магнитного поля, направленного вдоль оси z, порожда­ет электрическое поле Ey вдоль оси y. Изменение во времени поля Ey в свою очередь порождает поле Hz и т. д. Ни поля Ez, ни поля Hy при этом не возникает. А это и значит, что  ^ .

3.   и  являются решениями уравнений

  (3.3.9)

т.е. представляют собой гармонические функции

  (3.3.10)

Как видно из (3.3.9) частоты и волновые числа в этих выражениях одинаковы, отличаются лишь амплитуды и начальные фазы. Подставив эти решения в уравнения (3.3.8), получим

  (3.3.11)

Чтобы эти уравнения удовлетворялись в любой момент времени в любой точке пространства, нужно, чтобы . Таким образом колебания векторов и  в бегущей волне совпадают по фазе. Это значит, что Ey и Hz одинаковы в каждый момент по знаку, одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимума, что представлено на рис 3.3.1, который называется мгновенным снимком волны.

4. Найдем связь мгновенных значений Ε и Н. Рис.3.3.1.

Поскольку , соотношения (3.3.11) перепишутся

.  (3.3.12)

Перемножив эти два равенства, получим

.  (3.3.13)

Это соотношение связывает амплитуды колебаний Е и Н. Но поскольку фазы их колебаний совпадают, то мгновенные значения подчиняются такому же равенству

 (3.3.14)

Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.

С бегущей электромагнитной волной связан перенос энергии. Плот­ность потока энергии в этом случае можно найти как и для упругой волны через произведение плотности энергии w на скорость волны V (см.формулу (3.2.23)).

В обычной изотропной среде с проницаемостями ε и μ плот­ность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей:

  (3.3.15)

В данной среде справедливо соотношение (3.3.14) между Ε и Н, а это означает, что плотность электрической составляющей в бегущей волне равна плотности магнитной. Поэтому (3.3.15) мож­но записать так:

  (3.3.16)

где V  – скорость волны.

Умножив w на V, получим модуль вектора плотности потока энергии:

  (3.3.17)

Векторы  и   взаимно ортогональны и образуют с направ­лением распространения волны правовинтовую систему. Зна­чит, направление вектора их векторного произведения  совпадает с направлением пере­носа энергии, а модуль этого вектора равен ЕН. Поэтому век­тор плотности потока электромагнитной энергии   можно представить как

. (3.3.18)

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны  называют вектором Пойнтинга.

В случае бегущей гармонической электромагнитной волны (3.3.10) плотность энергии, согласно (3.3.16) и (3.3.14), равна

Плотность же потока энергии, как следует из (3.3.17),

  (3.3.19)

где учтено, что скорость V определяется формулой (3.3.4).

Интенсивность I такой волны равна, по определению, сред­нему значению модуля плотности потока энергии: I = <S>. Принимая во внимание, что при усреднении (3.3.19) среднее значение квадра­та косинуса равно 1/2, получим

  (3.3.25)

Домножив и поделив подкоренное выражение в этой формуле на   и учтя (3.3.5) и (3.3.6), получим

,

или для волны, распространяющейся не ферромагнитной среде ( мало отличается от единицы)  (3.3.27)

Обратим внимание, что I пропорционально квадрату амплиту­ды, I ~ Еm2 . Необходимо отметить также, что интенсивность электромагнитной волны выражают обычно через напряженность ее электрической составляющей, поскольку, как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света обусловлены именно ею.

Стоячая электромагнитная волна.

Мы уже говорили, что стоячую упругую волну можно представить как результат суперпозиции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Это относится и к элект­ромагнитным волнам. Однако надо учесть, что электромагнит­ная волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаим­но ортогональными векторами   и .

Пусть волна распространяется в положительном направле­нии оси х и описывается уравнениями

  (3.3.28)

 Для волны, распространяющейся в обратном направлении, как мы знаем, в скобках мину­сы заменяются на плюсы. Кроме того, будем помнить, что векторы ,,  должны составлять правую тройку.

Это поясняет рис.3.3.2, где в части (а) показаны возможные ориентации векторов   и  в волне, распространяющейся в прямом, а в части (б) – в обратном направлении. Рис.3.3.2. 

Таким образом, при сложении волн

либо векторы , либо  будут иметь противоположные направления, а, значит, при векторном сложении их модули будут вычитаться. Итак, уравнения встречной вол­ны будут иметь вид:

   (3.3.29)

или . (3.3.30)

В результате суперпозиции двух встречных волн, (3.3.28) и (3.3.29), получим:

   (3.3.31)

Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны. Видно, что в этой волне колебания векторов  и  сдвинуты по фазе на π/2 как в пространстве, так и во времени. Если в некоторый момент Ey во всех точках имело максимальное зна­чение и при этом Hz = 0, то через четверть периода картина будет обратной: Hz достигнет всюду максимальных значений со сдвигом в пространстве на λ/4, а Ey обратится в нуль. Таким образом, в процессе колебаний электрическое поле посте­пенно переходит в магнитное, магнитное — в электрическое Рис.3.3.3.

 и т. д. (см. рис.3.3.3). Поскольку колебания векторов  и  происхо­дят не в фазе, соотношение (3.3.13) оказывается справедливым только для амплитудных значений Εm и Ηm стоячей волны:

  (3.3.32)

В стоячей электромагнитной волне энергия переходит из чис­то электрической, имеющей максимумы в пучностях , в маг­нитную с максимумами в пучностях вектора , т. е. смещенным в пространстве на λ/4. Таким образом, происходит преобразование энергии электрического поля в энергию мгнитного и наоборот на расстоянии четверти длины волны. Это аналогично поведению гармоническо­го осциллятора, например математического маятника, где энер­гия переходит из чисто потенциальной (в крайнем положении) в кинетическую (в положении равновесия), и наоборот. Макроскопического переноса энергии не происходит. Отсюда и название волны – стоячая.

Электромагнитная волна на границе раздела диэлектриков

Выясним, что происходит при падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух однородных изотропных прозрачных диэлектриков, магнитная проницаемость которых равна единице (µ = 1). Известно, что при этом возникают отраженная и преломленная волны. Ограничимся рассмотрением частного, но практически важного случая, когда волна падает нормально на границу раздела диэлектриков с показателями преломления n1 и n2.

Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через  и , а магнитную составляющую — через  и . Из соображений симметрии ясно, что колебания векторов  и  происходят в одной плоскости. Это же относится и к векторам  и . На рисунке показаны относительное расположение этих векторов в непосредственной близости от границы раздела и направления распространения всех трех волн, обозначенные векторами ,  и. Дальнейший расчет покажет, насколько эта картина соответствует действительности.

Воспользуемся граничными условиями для

тангенциальных составляющих векторов  и : Рис.3.3.4.

   (3.3.33)

Перепишем эти условия для нашего случая:

  (3.3.34)

 (3.3.35)

Согласно (3.3.14),  

Тогда   но  поскольку проекции E’y и Н’z, в отраженной волне имеют противоположные знаки (см. рис.3.3.4). Поэтому равенство (3.3.35) можно переписать так:  или

  (3.3.36)

Решив совместно уравнения (3.3.34) и (3.3.36), получим выражения для Е’y и Е”y через Еy, которые в векторной форме имеют вид:

   (3.3.37)

Отсюда следует, что:

1. Вектор  всегда сонаправлен с вектором , т. е. оба вектора колеблются синфазно — при прохождении волны через границу раздела фаза не претерпевает скачка.

2. Это же относится и к векторам  и , но при условии, что n1 > n2, т. е. если волна переходит в оптически менее плотную среду. В случае же, когда n1 < n2, дробь в выражении (3.3.37) для  оказывается отрицательной, а это означает, что направление вектора  противоположно направлению вектора , т. е. колебания этих векторов происходят в противофазе (этому соответствует рис.3.3.4). Другими словами, при отражении волны от оптически более плотной среды фаза колебаний вектора изменяется скачком на π.

Эти результаты мы будем использовать в дальнейшем при изучении интерференции волн, отраженных от поверхностей тонких пластинок.

Коэффициенты отражения и пропускания.

Вопрос об этих коэффициентах мы рассмотрим для случая нормального падения световой волны на границу раздела двух прозрачных диэлектриков. Ранее мы выяснили, что интенсивность I гармонической волны, пропорциональна . Коэффициент отражения, по определению, есть . После подстановки отношения Е’m /Еm из первой формулы (3.3.37), найдем:

  (3.3.38)

Обратим внимание на то, что r не зависит от направления падающей волны на границу раздела: из среды 1 в среду 2, или наоборот. При небольшой разнице показателей преломления граничащих сред этот коэффициент оказывается очень небольшим (на границе стекло – воздух он составляет 0,04)

Аналогично находим и коэффициент пропускания t как отношение I’’/I. Согласно (3.3.27), I”/I = . Остается учесть вторую формулу из (3.3.37), и мы получим, что коэффициент пропускания

  (3.3.39)

Нетрудно убедиться в том, что сумма обоих коэффициентов r + t = 1, как и должно быть.


Физика выполнение лабораторных работ. Лекции и конспекты