Атом водорода

 

Рассмотрим основное состояние атома водорода: . Угловая

часть волновой функции . Для радиальной части

имеем , т.е.  - полином нулевой степени. Учитывая связь  получаем полную функцию:

.

Нормируем ее:

.

Итак, нормированная волновая функция основного состояния имеет вид:

.

 Плотность вероятности обнаружить электрон на расстоянии  от ядра равна

.

Максимум вероятности достигается на расстоянии , определяемом из условия

.

Получаем в результате

.

Следовательно, радиус первой боровской орбиты – расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружить электрон максимальна. Поскольку при  плотность  экспоненциально мала, то можно сказать, что эффективный размер атома водорода порядка  см.

 Мы видим, что в основном состоянии распределение по координатам сферически симметрично. Это не так в возбужденных состояниях при :

.

 Замечание. Угловое распределение вероятности универсально, т.е. одинаково для всех сферически-симметричных потенциалов (см. явный вид некоторых сферических функций  в п. 7). Что же касается вырождения уровней энергии по орбитальному числу , то оно характерно только для двух типов потенциалов : кулоновского () и потенциала трехмерного осциллятора (). В.А. Фок (1935) показал, что «случайное» вырождение по  в кулоновском поле объясняется наличием более широкой, чем , группы симметрии . Это приводит к дополнительному интегралу движения

,

причем .

Наблюдаемая - аналог известного в классической механике вектора Рунге – Ленца, или вектора эксцентриситета: он направлен от фокуса эллиптической орбиты по большой оси к наиболее удаленной точке траектории, а его модуль равен эксцентриситету эллипса.

Машиностроительное черчение, инженерная графика, начертательная геометрия. Выполнение контрольной