Основы квантовой механики Физика учебник


Волновое уравнение Шрёдингера

Перейдем к новой функции . Для нее получаем:

.

В силу УГЯ для  функция  удовлетворяет нелинейному уравнению. Однако для объяснения явлений интерференции и дифракции необходимо выполнение принципа суперпозиции. Поэтому уравнение для  должно быть линейным. Оно следует из квантового обобщения уравнения Гамильтона – Якоби (КУГЯ)

 

и имеет вид:

.
Это уравнение Шрёдингера для частицы в потенциальном поле. Введенный линейный оператор  называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом. 

 Линейное УШ эквивалентно нелинейному КУГЯ, причем в общем случае как , так и - комплекснозначные функции. КУГЯ переходит в классическое УГЯ при условии

В этом приближении допустимо использовать классическое выражение для импульса . Тогда находим

, или ,

 т.е. относительное изменение импульса на дебройлевской длине волны должно быть малым.

 В одномерном случае получаем простое условие

,
т.е.  должна слабо изменяться при изменении координаты . При  выполняется закон сохранения энергии:

.

Отсюда находим

,

где -ньютоновская сила. Условие применимости классического уравнения Гамильтона – Якоби принимает в стационарном одномерном случае вид:

,

т.е. работа силы на дебройлевской длине волны должна быть мала по сравнению с кинетической энергией частицы. Это условие заведомо нарушается в окрестности точки поворота , где , и, следовательно, .
Более подробно условия применимости классической механики мы обсудим позже (см. п. 5).

Машиностроительное черчение, инженерная графика, начертательная геометрия. Выполнение контрольной